來源：網(wǎng)絡(luò) | 2018-09-25 11:24:55
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今天與大家分享的是 19考研 | 聯(lián)考初數(shù)之加法原理與乘法原理的區(qū)別，希望能對大家有所幫助——
排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān).如231與213是兩個排列，2+3+1的和與2+1+3的和是一個組合. (一)兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ) (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法. (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法. 這里要注意區(qū)分兩個原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨(dú)立的，因此用加法原理;做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理. 這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來.
(二)排列和排列數(shù) (1)排列：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從排列的意義可知，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否相同的方法. (2)排列數(shù)公式：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列 當(dāng)m=n時，為全排列Pnn=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n!
(三)組合和組合數(shù) (1)組合：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合. 從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合;只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合. (2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個 這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的. 一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點之一，原因在于 (1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力; (2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準(zhǔn)確理解; (3)計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大; (4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。
二、兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用
(1)加法原理和分類計數(shù)法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù);兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重);完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計數(shù)法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù);各步計數(shù)相互獨(dú)立;只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同 [例題分析]排列組合思維方法選講
1.首先明確任務(wù)的意義 例1. 從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個。 分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。 設(shè)a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定， 又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。 例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對實際背景的分析可以逐層深入 (一)從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。 (二)每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。 (三)事實上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。 從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， ∴ 本題答案為：=56。
2.注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合 例3.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。 第一類：A在第一壟，B有3種選擇; 第二類：A在第二壟，B有2種選擇; 第三類：A在第三壟，B有一種選擇， 同理A、B位置互換 ，共12種。 例4.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應(yīng)分步解決。 (一)從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法; (二)從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。 (三)從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法; (四)由于選取與順序無關(guān)，因而(二)(三)中的選法重復(fù)一次，因而共240種。
例5.身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。 分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。 例6.在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點?分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。 以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當(dāng)中有幾個去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。 第一類：這兩個人都去當(dāng)鉗工，有種; 第二類：這兩人有一個去當(dāng)鉗工，有種; 第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。 因而共有185種。
例7.現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)? 分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。 抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法; 抽出的三數(shù)含0不含9，有種方法; 抽出的三數(shù)含9不含0，有種方法; 抽出的三數(shù)不含9也不含0，有種方法。 又因為數(shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2×(+)++=144種方法。
例8.停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。 分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。
3.特殊元素，優(yōu)先處理;特殊位置，優(yōu)先考慮 例9.六人站成一排，求 (1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù) (2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。 第一類：乙在排頭，有種站法。 第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法， 共+種站法。
(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。 第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。 第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。 第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。 共+2+=312種。 例10.對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能? 分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次測試的有種可能; 第二步：前四次有一件正品有中可能。 第三步：前四次有種可能。 ∴ 共有種可能。 4.捆綁與插空 例11. 8人排成一隊 (1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰 (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 (5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰 分析：(1)有種方法。 (2)有種方法。 (3)有種方法。 (4)有種方法。 (5)本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。 用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。 例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況? 分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即。 例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。 ∴ 共=20種方法。
4.間接計數(shù)法.(1)排除法 例14. 三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-共線三點的方法數(shù)， ∴ 共種。 例15.正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)， ∴ 共-12=70-12=58個。 例16. l，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為1。 (1)當(dāng)1選上時，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。 (2)當(dāng)不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53個。 (3)補(bǔ)上一個階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題 例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：(一)實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。 (二)先考慮六人全排列;其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， ∴ 共=120種。 例18.5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共種;男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024種。 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。 例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認(rèn)為三個紅球互不相同，共種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。 5.擋板的使用 例20.10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。
6.注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列;同樣，組合如補(bǔ)充一個階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。 例21. 從0，l，2，……，9中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。 (一)兩個選出的偶數(shù)含0，則有種。 (二)兩個選出的偶數(shù)字不含0，則有種。 例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法? 分析：(一)先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。 (二)選擇10層中的四層下樓有種。 ∴ 共有種。 例23. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， (1)可組成多少個不同的四位數(shù)? (2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)? (3)可組成多少個能被3整除的四位數(shù)? (4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項是什么? 分析：(1)有個。 (2)分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。 ∴ 共+種。 (3)先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96種。 (4)首位為1的有=60個。 前兩位為20的有=12個。 前兩位為21的有=12個。 因而第85項是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。 7.分組問題 例24. 6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法? (2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法? (3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法? (4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法? 分析：(1)有中。 (2)即在(1)的基礎(chǔ)上除去順序，有種。 (3)有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。 (4)有種。同(3)，原因是甲，乙，丙持有量確定。 (5)有種。 例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。 分析：(一)考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。 第一類：平均分成3人一組，有種方法。 第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。
(二)再考慮分別上兩輛不同的車。 綜合(一)(二)，有種。 例26. 5名學(xué)生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有________種. 分析：(一)先把5個學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。 其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。
(二)再考慮分配到四個不同的科技小組，有種， 由(一)(二)可知，共=240種。 概率： 從隨機(jī)現(xiàn)象說起 在自然界和現(xiàn)實生活中，一些事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中，根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，必定會導(dǎo)致某種確定的結(jié)果。舉例來說，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會沸騰。事物間的這種聯(lián)系是屬于必然性的。通常的自然科學(xué)各學(xué)科就是專門研究和認(rèn)識這種必然性的，尋求這類必然現(xiàn)象的因果關(guān)系，把握它們之間的數(shù)量規(guī)律。 另一類是不確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，它的結(jié)果是不確定的。舉例來說，同一個工人在同一臺機(jī)床上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有一點差異。又如，在同樣條件下，進(jìn)行小麥品種的人工催芽試驗，各棵種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強(qiáng)弱和早晚的分別等等。為什么在相同的情況下，會出現(xiàn)這種不確定的結(jié)果呢?這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素又是人們無法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類現(xiàn)象中，就無法用必然性的因果關(guān)系，對個別現(xiàn)象的結(jié)果事先做出確定的答案。事物間的這種關(guān)系是屬于偶然性的，這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象，或者叫做隨機(jī)現(xiàn)象。 在自然界，在生產(chǎn)、生活中，隨機(jī)現(xiàn)象十分普遍，也就是說隨機(jī)現(xiàn)象是大量存在的。比如：每期體育彩票的中獎號碼、同一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等，都是隨機(jī)現(xiàn)象。因此，我們說：隨機(jī)現(xiàn)象就是：在同樣條件下，多次進(jìn)行同一試驗或調(diào)查同一現(xiàn)象，所的結(jié)果不完全一樣，而且無法準(zhǔn)確地預(yù)測下一次所得結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象這種結(jié)果的不確定性，是由于一些次要的、偶然的因素影響所造成的。 隨機(jī)現(xiàn)象從表面上看，似乎是雜亂無章的、沒有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實踐證明，如果同類的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)，它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性，隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯。比如擲硬幣，每一次投擲很難判斷是那一面朝上，但是如果多次重復(fù)的擲這枚硬幣，就會越來越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。 我們把這種由大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計規(guī)律性。概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。 概率論的產(chǎn)生和發(fā)展 概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來是又保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論中問題的源泉。 早在1654年，有一個賭徒梅累向當(dāng)時的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當(dāng)其中一個人贏了 a (a
應(yīng)該指出，概率統(tǒng)計在研究方法上有它的特殊性，和其它數(shù)學(xué)學(xué)科的主要不同點有： 第一，由于隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律是一種集體規(guī)律，必須在大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中才能呈現(xiàn)出來，所以，觀察、試驗、調(diào)查就是概率統(tǒng)計這門學(xué)科研究方法的基石。但是，作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個分支，它依然具有本學(xué)科的定義、公理、定理的，這些定義、公理、定理是來源于自然界的隨機(jī)規(guī)律，但這些定義、公理、定理是確定的，不存在任何隨機(jī)性。 第二，在研究概率統(tǒng)計中，使用的是“由部分推斷全體”的統(tǒng)計推斷方法。這是因為它研究的對象——隨機(jī)現(xiàn)象的范圍是很大的，在進(jìn)行試驗、觀測的時候，不可能也不必要全部進(jìn)行。但是由這一部分資料所得出的一些結(jié)論，要全體范圍內(nèi)推斷這些結(jié)論的可靠性。 第三，隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性，是指試驗、調(diào)查之前來說的。而真正得出結(jié)果后，對于每一次試驗，它只可能得到這些不確定結(jié)果中的某一種確定結(jié)果。我們在研究這一現(xiàn)象時，應(yīng)當(dāng)注意在試驗前能不能對這一現(xiàn)象找出它本身的內(nèi)在規(guī)律。
概率論的內(nèi)容 概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機(jī)事件的概率、統(tǒng)計獨(dú)立性和更深層次上的規(guī)律性。 概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)。在獨(dú)立隨機(jī)事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認(rèn)為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于 0和 1之間。 有一類隨機(jī)事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果;第二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機(jī)現(xiàn)象叫做“古典概型”。 在客觀世界中，存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機(jī)事件。如果用變量來描述隨機(jī)現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量;如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機(jī)變量就叫做非離散型隨機(jī)變量。 在離散型隨機(jī)變量的概率分布中，比較簡單而應(yīng)用廣泛的是二項式分布。如果隨機(jī)變量是連續(xù)的，都有一個分布曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機(jī)變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標(biāo)準(zhǔn)方差。
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